Existen diferentes modalidades en el cobro de intereses, por ejemplo se cobran por período anticipado; es decir, intereses que se descuentan al inicio de cada período, y otros por período vencido, que son los que se cobran al final de cada periodo.

Se representa con la letra i y se aplica siempre al final de cada periodo esta tasa de interés contiene dos elementos, el primero es como tal la tasa de aplicación y el segundo es el Periodo en el que se va a efectuar dicha tasa.

Ejemplo: 2% mensual, 4% bimestral, 6% trimestral, 18% semestral y 30% anual.

Es importante resaltar que si no dicen que la tasa de interés es anticipada se considera como vencida.

Tasa de interés nominal 

Es una tasa de interés de referencia y se denomina con la letra r, por ser de referencia no mide el valor real de dinero. Tiene tres componentes:

1.   La tasa
2.   El periodo de referencia
3. El periodo de composición

Ejemplo = 4% bimestral compuesto mensualmente

En este punto es importante tener en cuenta la frecuencia de conversión para la capitalización de los intereses.

Relacion de tasas

Para realizar la conversión de tasa nominal a periódica lo cual es necesario para resolver la mayoría de ejercicios mediante interés compuesto se debe emplear la ecuación:

donde i hace referencia a la tasa de interés periódica, r la tasa nominal y m es la frecuencia, numero de periodos o subperiodos que se encuentran en el periodo de referencia que generalmente es un año.

Ejemplos:

• 4% bimestral compuesto mensualmente.

Para aplicar la ecuación debemos considerar que la tasa de interés nominal(r) es 4% y la frecuencia(m) equivale a 2 ya que un bimestre que es el periodo de referencia  contiene dos meses, con lo cual la ecuación quedaría planteada de la siguiente manera:

i = 4% / 2

i = 2% de interés mensual 

• 32% anual compuesto cuatrimestralmente

Se establece que la tasa de interés nominal(r) es 32% y la frecuencia(m) equivale a 3 ya que un año que es el periodo de referencia  contiene tres cuatrimeses, con lo cual la ecuación quedaría planteada de la siguiente manera:

i = 0,32 / 2

i = 10,67% de interés cuatrimestral 

Tasa de interés efectivo

Se denomina por ie. Es un interés periódico especial, debido a que un interés para un período especifico, es el interés efectivo para ese período, por ejemplo: el interés del 3% mensual, es el interés periódico para el mes y al mismo tiempo, es su interés efectivo. Lo que indica que, para denotar el interés efectivo, sólo se necesita indicar la tasa y el periodo de aplicación. El interés efectivo, mide el costo o la rentabilidad real del dinero.

Ecuación:

Ejemplo:

¿Cuál es la tasa efectiva por un préstamo bancario que se pactó al 20% de interés anual convertible bimestralmente?

En primera medida se debe realizar la conversión de tasas en donde se pasara de un interés anual convertible bimestralmente a una tasa bimestral efectiva.

i = 20% / 6

i = 3,33% de interés bimestral efectiva 

Una vez realizada esta conversión es necesario realizar el cambio de periodo en donde se va a pasar de un periodo bimestral a anual, para lo cual se utiliza la ecuación de interés efectivo.

la tasa de interés anual efectiva es de 21,51%.

Ejemplos

• ¿A cuánto tiempo $ 1.500.000 es equivalente a $ 700.000 hoy, sabiendo que el interés que gana el dinero es del 2,5% mensual?

Se obtiene que los valores iniciales son:

F = 1´500.000

P = 700.000

I =  0,025

N = ?

Aplicando la ecuación y resolviendo se obtiene:

Con lo cual se necesita un tiempo de 31 meses para alcanzar dicha cantidad de dinero.

• Una persona debe pagar en 18 meses la suma de $ 2.000.000. ¿Cuál debe ser el valor del depósito que se haga hoy en una cuenta que paga el 8% efectivo trimestral para poder retirar esa suma?

 

se puede evidenciar que la incógnita es el valor presente, y para determinarlo el ejercicio proporciona el valor futuro(F), periodo(n) y tasa de interés(i).

aplicando la ecuación de interés compuesto se obtiene:

Es importante considerar que la tasa de interés es trimestral por lo que el periodo debe ser ajustado, para lo cual se consideran el numero de trimestres presenten en 18 meses.

Ejercicio propuesto.

Tesla Debe cancelar un pagare por $20.000 en 4 meses y otro por $60.000, con vencimiento en 5 meses y un tercero por $100.000 con vencimiento en un año. Se ofrece pagar hoy $20.000 y el resto en 10 meses ¿Cuál debe ser el valor del pago, para que las deudas queden canceladas, si el interés es del 25% asuma como fecha focal 6 meses.

      1. Interés ordinario con tiempo exacto. 

Se supone un año de 360 días y se toman los días que realmente tiene el mes según el calendario. Este interés, se conoce con el nombre de interés bancario; es un interés más costoso y el que más se utiliza.

2. Interés ordinario con tiempo aproximado. 

Es el valor futuro que tendrá un monto de dinero determinado en un tiempo establecido al inicio de la inversión. la formula para su calculo es:

F = P(1+in)

Donde:

F = Valor futuro.

P = Valor presente.

i = Tasa de interés.

n = Periodo.

ECUACIONES DE VALOR  

Son también conocidas con el nombre de teorema fundamental de las matemáticas financieras, por lo cual, permiten resolver de manera fácil cualquier problema de las matemáticas financieras

No son más que igualdades de valor, referenciadas a una fecha determinada o específica, denominada fecha focal y se simboliza por “ff”, en el diagrama económico se representa a través de una línea de trazos. En la fecha focal se igualan los flujos de caja para hacer la comparación y en ella, se comparan los ingresos con los egresos, las deudas con los pagos, los activos con los pasivos. Por lo tanto, se podría expresar de la siguiente manera: 

EJEMPLOS

1.  Una persona recibe un préstamo por la suma de $ 200.000 para el mes de marzo, se cobra una tasa de interés de 20% anual simple. Calcular el interés (I), para cada una de las clases de interés simple.

Para desarrollar se realiza teniendo en cuenta los cuatro tipos de interés simple vistos con anterioridad. debemos considerar que el valor presente en igual a $200.000 y la tasa de interés de 0,2.

1. Interés ordinario con tiempo exacto. 

I = Pin

I = 200.000*0,2*(31/360) 

I = 3.444,44

Es importante considerar que el periodo es calculado en base a 360 días. ya que el interés es anual y siguiendo las consideraciones de este tipo de interés el periodo es igual a la división de los 31 días del mes sobre los 360 días comerciales del año.

2. Interés ordinario con tiempo aproximado. 

Para el periodo(n) se toma el mes con un total de 30 días y el año con 360 días, lo cual es equivalente a 1 mes dividido en 12 meses que posee un año.

3. Interés exacto con tiempo exacto. 

Interés = 0,25
Fecha focal(ff) = 8 meses

posteriormente se realiza el diagrama en donde se ubican todos las deudas con flecha hacia arriba y los pagos a realizarse con flecha hacia abajo.

Es importante establecer la fecha focal, ya que al utilizar la ecuación de valor futuro si la deuda o pago esta por delante( lado derecho) la ecuación a utilizar será F = P/(1+in).. Si por lo contrario la deuda o pago se encuentra por detrás de la fecha focal(lado izquierdo) la ecuación no sufrirá cambios                  F = P*(1+in).

Planteando la igualdad se obtiene:

Cabe resaltar que para los valores que se encuentren en la fecha focal no se les debe aplicar ningún tipo de ecuación, y los valores de los periodos corresponderán al numero de meses desde el valor evaluado hasta la fecha focal. así por ejemplo para la deuda de 60.000 su periodo corresponderá a 3 meses que es la resta entre 8 meses - 5 meses sobre 12 meses correspondientes a un año.

resolviendo y despejando X obtenemos: 

Con lo cual en el mes diez se debe realizar un pago de $204.641,85.

3. Tesla Debe cancelar un pagare por $20.000 en 4 meses y otro por $60.000, con vencimiento en 5 meses y un tercero por $100.000 con vencimiento en un año. Se ofrece pagar hoy $20.000 y el resto en 10 meses ¿Cuál debe ser el valor del pago, para que las deudas queden canceladas, si el interés es del 25% asuma como fecha focal 6 meses.

El valor del pago que se debe realizar es de $160.844,9

EJERCICIO PROPUESTO

Se tienen dos deudas determinadas así. $ 70.000 con vencimiento en 8 meses e intereses del 20%, y $ 120.000 con vencimiento en 20 meses e intereses del 30%. Si se van a cancelar con un pago de $ 50.000 hoy y $X en el mes 12. Determinar el valor del pago, si la tasa de interés para éste caso es del 28%. Colocar la fecha focal en el mes 15.