Ingeniería Económica: Interés compuesto y Equivalencia de tasas. Ejercicios resueltos.

 

INTERES COMPUESTO

 

El interés compuesto, es un sistema que capitaliza los intereses, por lo tanto, hace que el valor que se paga por concepto de intereses se incremente mes a mes, ya que la base para el cálculo del interés se incrementa cada vez que se liquidan los respectivos intereses. 

Se utiliza en todos los créditos que hacen los bancos sin importar su modalidad. La razón de la existencia de este sistema se debe al supuesto de la reinversión de los intereses por parte del prestamista.

Para determinar el valor futuro(F) bajo interés compuesto se utiliza la ecuación:

Donde:

F = Valor Futuro.

P = Valor Presente  

i = Tasa De Interés

n= Periodo.

Tipos de interés compuesto

Para el interés compuesto existen comúnmente dos tipos: 

• Interés compuesto discreto: Se aplica con intervalos de tiempos finitos

• Interés compuesto continuo: Se aplica en una forma continua, o sea que los intervalos de tiempo son infinitesimales.

Diferencias entre interés simple y compuesto

 

Las principales diferencias entre el interés simple y el interés compuesto son:

•  En el interés simple el capital inicial es el mismo durante toda la operación, mientras que en el interés compuesto este capital va variando en cada periodo.
•   En el interés simple el interés es el mismo, mientras en el interés compuesto el interés va variando en cada periodo.

En definitiva, la principal diferencia es si se reinvierten o no los intereses causados periódicamente. Con el interés compuesto se reinvierten los intereses y, por tanto, cada vez vamos consiguiendo mayores beneficios. Mientras que, con el interés simple, no se reinvierten los intereses y siempre conseguimos la misma cantidad.

EQUIVALENCIA DE TASAS

Existen diferentes modalidades en el cobro de intereses, por ejemplo se cobran por período anticipado; es decir, intereses que se descuentan al inicio de cada período, y otros por período vencido, que son los que se cobran al final de cada periodo.

Tasa de interés periódica

Se representa con la letra i y se aplica siempre al final de cada periodo esta tasa de interés contiene dos elementos, el primero es como tal la tasa de aplicación y el segundo es el Periodo en el que se va a efectuar dicha tasa.

Ejemplo: 2% mensual, 4% bimestral, 6% trimestral, 18% semestral y 30% anual.

Es importante resaltar que si no dicen que la tasa de interés es anticipada se considera como vencida.

Tasa de interés nominal 

Es una tasa de interés de referencia y se denomina con la letra r, por ser de referencia no mide el valor real de dinero. Tiene tres componentes:

1.   La tasa
2.   El periodo de referencia
3. El periodo de composición

Ejemplo = 4% bimestral compuesto mensualmente

En este punto es importante tener en cuenta la frecuencia de conversión para la capitalización de los intereses.

Relacion de tasas

Para realizar la conversión de tasa nominal a periódica lo cual es necesario para resolver la mayoría de ejercicios mediante interés compuesto se debe emplear la ecuación:

donde i hace referencia a la tasa de interés periódica, r la tasa nominal y m es la frecuencia, numero de periodos o subperiodos que se encuentran en el periodo de referencia que generalmente es un año.

Ejemplos:

• 4% bimestral compuesto mensualmente.

Para aplicar la ecuación debemos considerar que la tasa de interés nominal(r) es 4% y la frecuencia(m) equivale a 2 ya que un bimestre que es el periodo de referencia  contiene dos meses, con lo cual la ecuación quedaría planteada de la siguiente manera:

i = 4% / 2

i = 2% de interés mensual 

• 32% anual compuesto cuatrimestralmente

Se establece que la tasa de interés nominal(r) es 32% y la frecuencia(m) equivale a 3 ya que un año que es el periodo de referencia  contiene tres cuatrimeses, con lo cual la ecuación quedaría planteada de la siguiente manera:

i = 0,32 / 2

i = 10,67% de interés cuatrimestral 

Tasa de interés efectivo

Se denomina por ie. Es un interés periódico especial, debido a que un interés para un período especifico, es el interés efectivo para ese período, por ejemplo: el interés del 3% mensual, es el interés periódico para el mes y al mismo tiempo, es su interés efectivo. Lo que indica que, para denotar el interés efectivo, sólo se necesita indicar la tasa y el periodo de aplicación. El interés efectivo, mide el costo o la rentabilidad real del dinero.

Ecuación:

Ejemplo:

¿Cuál es la tasa efectiva por un préstamo bancario que se pactó al 20% de interés anual convertible bimestralmente?

En primera medida se debe realizar la conversión de tasas en donde se pasara de un interés anual convertible bimestralmente a una tasa bimestral efectiva.

i = 20% / 6

i = 3,33% de interés bimestral efectiva 

Una vez realizada esta conversión es necesario realizar el cambio de periodo en donde se va a pasar de un periodo bimestral a anual, para lo cual se utiliza la ecuación de interés efectivo.

la tasa de interés anual efectiva es de 21,51%.

Ejemplos

• ¿A cuánto tiempo $ 1.500.000 es equivalente a $ 700.000 hoy, sabiendo que el interés que gana el dinero es del 2,5% mensual?

Se obtiene que los valores iniciales son:

F = 1´500.000

P = 700.000

I =  0,025

N = ?

Aplicando la ecuación y resolviendo se obtiene:

Con lo cual se necesita un tiempo de 31 meses para alcanzar dicha cantidad de dinero.

• Una persona debe pagar en 18 meses la suma de $ 2.000.000. ¿Cuál debe ser el valor del depósito que se haga hoy en una cuenta que paga el 8% efectivo trimestral para poder retirar esa suma?

 

se puede evidenciar que la incógnita es el valor presente, y para determinarlo el ejercicio proporciona el valor futuro(F), periodo(n) y tasa de interés(i).

aplicando la ecuación de interés compuesto se obtiene:

Es importante considerar que la tasa de interés es trimestral por lo que el periodo debe ser ajustado, para lo cual se consideran el numero de trimestres presenten en 18 meses.

Ejercicio propuesto.

Tesla Debe cancelar un pagare por $20.000 en 4 meses y otro por $60.000, con vencimiento en 5 meses y un tercero por $100.000 con vencimiento en un año. Se ofrece pagar hoy $20.000 y el resto en 10 meses ¿Cuál debe ser el valor del pago, para que las deudas queden canceladas, si el interés es del 25% asuma como fecha focal 6 meses.